О ТРАНСФОРМАЦИИ ЛИНИЙ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ КОНИЧЕСКИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ В ЧАСТНЫХ СЛУЧАЯХ
Main Article Content
Аннотация
Аннотация. Рассматривается вопрос, в каких случаях и при каких условиях получаются те или иные сочетания кривых второго порядка при варьировании угла поворота и конусности пересекающихся конических поверхностей, описанных вокруг сферы. Постановка задачи исследования описывается на основании теоремы Монжа и условий, определяемых ею. С учётом практического значения теоремы Монжа подчёркивается важность рассмотрения трансформации линий пересечения конических поверхностей не только при изменении угла между их осями, но и в зависимости от конусности поверхностей. Для удобства визуализации трансформации вида линий пересечения конических поверхностей предложено использование круговой диаграммы. Рассмотрены частные случаи пересечения конических поверхностей, описанных вокруг сферы. Приведены примеры визуализации процесса трансформации линий пересечения конических поверхностей при помощи предлагаемых круговых диаграмм при различных углах конусности и углах между осями поверхностей. Проанализированы возможные варианты вида линии взаимного пересечения конических поверхностей с различной конусностью, при изменении угла между осями поверхностей. Предложен вариант использования результатов исследования в образовательном процессе путём анализа задачи при помощи предлагаемых диаграмм, последующего компьютерного трехмерного моделирования пересекающихся поверхностей и генеративного создания плоского чертежа. Приведен пример выполненного учебного задания по созданию линий пересечения двух конических поверхностей, описанных вокруг сферы, средствами компьютерного моделирования.
Предмет исследования: частный случай пересечения поверхностей 2-го порядка.
Материалы и методы: геометрический алгоритм моделирования линий взаимного пересечения конических поверхностей – кривых 2-го порядка – с использованием методов сферических посредников и компьютерного моделирования.
Результаты: показано, что вид кривых второго порядка, при пересечении конических поверхностей в частных случаях, зависит не только от величины угла между их осями, а и от величин их конусности. Предложено использование круговой диаграммы для удобства визуализации процесса трансформации вида линий пересечения конических поверхностей.
Выводы: в результате исследования расширено представление о теореме Монжа, как одной из основ теории пересечения поверхностей. Предлагаемая круговая диаграмма позволяет систематизировать и визуализировать варианты трансформации вида линии пересечения конических поверхностей. Результаты исследования могут быть использованы: в учебном процессе – для ускорения восприятия учебного материала и всестороннего осмысления теоремы Монжа; в строительстве и архитектуре – при проектировании конструкций с элементами пересекающихся конических поверхностей.
Article Details
Библиографические ссылки
Konopackij E.V., Voronova O.S., Rotkov S.I., Lagunova M.V., Bezditnyj A.A. Modeling of curves of the second-order and surfaces of shells of engineering structures based on them // Construction
and technogenic safety. Simferopol: V.I. Vernadsky Crimean Federal University, 2021. No. 22 (74). pp. 159 – 168. (In Russian)
Korotky V.A., Usmanova E.A. The use of second-order curves to construct smooth frame-mesh
surfaces // Bulletin of the South Ural State University. Series: Construction and Architecture, 2014. Vol. 14. No. 3. pp. 45 – 48. (In Russian)
Belyaeva Z. V., Mityushov E. A. Geometric modeling of spatial structures. Vaults // Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo arhitekturno – stroitel'nogo universiteta. 2010. No 1. pp. 53 – 63. (In Russian)
Demeneva N.V. Analytical geometry. Second-order curves // Federal State Budgetary Educational Institution of Higher Education "Perm State Agrarian and Technological University named after Academician D.N. Pryanishnikov". Perm: CPI Prokrost, 2019. 310 p. ISBN 9785942794613. (In Russian)
Hejfec A.L. Comparison of methods of descriptive geometry and 3D computer geometric modeling in terms of accuracy, complexity and efficiency // Bulletin of the South Ural State University. Series: Construction and Architecture, 2015. Vol. 15. No. 4. pp. 49 – 63. (In Russian)
Hejfec A.L. 3D-model of the intersection of confocal and pseudosofocal quadrics // Bulletin of the South Ural State University. Series: Computer technologies, control, radio electronics, 2013. No. 2. pp. 88 – 95. Available at: https://vestnik.susu.ru/ctcr/article/view/211/197 (date of access 05.03.22). (In Russian)
Hejfec A.L., Korotkij V.A. 3D computer simulation of the intersection of elliptical cones at their double contact. AutoCAD // 16th International Conference on Computer Graphics and its Applications “GraphicCon'2006”: papers. Novosibirsk: Prajs-kur'er, 2006. pp. 128 – 133. (In Russian)
CHetveruhin, N.F. Proektivnaya geometriya [Projective geometry]. Moscow: Prosveshchenie. 1969. 368 p.
Hejfec A.L. The study of the line of intersection of surfaces of the second order in the course of the theoretical foundations of computer geometric modeling. 12th International Conference on Computer Graphics and Machine Vision “GraphicCon'2002”: papers. Nizhnij Novgorod, 2002. 462 p. (In Russian)
Hejfec A.L., Erohin S.V. 3D modeling of special cases of intersection of second-order surfaces in the AutoCAD package // Bulletin of the South Ural State University. Series: Construction and Architecture, 2003. Vol. 2. No. 7 (23). pp. 92 – 95. (In Russian)
Koryagina O.M. Construction of lines of intersection of surfaces of the second order in the volume modeling system Autodesk Inventor. Cloud of Science: scientific Internet-journal. 2016. Vol. 3. No. 1. pp. 60 – 70. http://cloudofscience.ru/publications/archive/cos_3_1/ (date of access 05.03.22). (In Russian)
SHiryaj A. V. Construction of a line of intersection of surfaces using 3D modeling in the KOMPAS-3D program. X Anniversary All-Russian scientific and technical conference of students, graduate students and young scientists with international participation, dedicated to the 80th anniversary of the formation of the Krasnoyarsk Territory "Youth and Science": a collection of materials. Krasnoyarsk: Siberian Federal University, 2014. https://conf.sfu-kras.ru/sites/mn2014/pdf/d03/s01/s01_015.pdf (date of access 05.03.22). (In Russian)
Sereda V.G., But A.Yu. Traces type dependence on combinations of the surfaces. Vestnik nauki i obrazovaniya Severo-Zapada Rossii. Kaliningrad: scientific Internet-journal. 2021. Vol. 7. No. 2. http://vestnik-nauki.ru/wp-content/uploads/2021/05/2021-N2-SeredaBut.pdf (date of access 05.03.22). (In Russian)